Дроби древнего мира
Древний Египет
Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики «настоящими «считали только аликвотные дроби. Это дроби вида 1/n, где n — натуральное число. Аликвота — (лат. aliquoties, «несколько раз;несколько частей»).
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.
Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:
1.чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2.чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».
1.чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2.чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат».
Египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 .
Иногда при решении задач удобно представить некоторую дробь в виде суммы двух или нескольких аликвотных дробей.
Пример 1
Разложить дробь
Разложить дробь
- Сначала нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель полученной дроби минимально превышал знаменатель исходной дроби, (т.е. полученный числитель был минимально больше 13). Для этого числитель и знаменатель умножим на 4:
2.В полученной дроби (16>13), поэтому можем записать:
на аликвотные дроби:
3.Теперь представим второе слагаемое в виде суммы аликвотных дробей. Для этого числитель и знаменатель умножим на такое число, чтобы в числителе было (52+2), т.е. умножим на 18:
4.В результате получим разложение дроби на аликвотные:
Пример 2.
Если знаменатель исходной дроби составное число, то операции замены этой дроби суммой аликвотных дробей можно упростить, представив числитель этой дроби в виде суммы делителей знаменателя плюс минимально возможный остаток.
Разложим дробь
на сумму аликвотных дробей:
Для этого представим число 65 в виде суммы делителей числа 72: 36, 18, 9 и 2
Древний Вавилон
Давайте разберем такую интересную тему, как вавилонская шестидесятеричная система счисления. Её особенность заключается в том, что её принципы были положены в нумерацию, которой мы пользуемся сейчас – десятичный формат. Он построен на арабских цифрах от нуля до девяти. Здесь мы разберем гипотезы происхождения вавилонского (шестидесятеричного) исчисления, попробуем дать обоснованную оценку наиболее правдоподобной гипотезы.
Гипотезы о причинах возникновения шестидесятеричной системы счисления.
1. Теон Александрийский (конец 4 и начало 5 века н.э.)
Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.
Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.
2. Гипотеза Тюро-Данжена (1932)
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
3. Гипотеза Нейгебауера (1927)
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
4. Гипотеза Веселовского И.Н. (1959)
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
5. Гипотеза Кевича (1904)
Кевич предпологает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестиричную систему.
Кевич предпологает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестиричную систему.
Почему в Вавилоне в качестве основания системы счисления было выбрано такое большое число -60? Наиболее правдоподобной представляется следующая. Население Вавилонского царства было смешанным, и вавилонская культура сложилась в результате слияния культур нескольких народов. В частности, нужно было переводить меры одного народа в меры другого. Например, если у четырех народов применялись системы мер с основаниями 5, 10, 12 и 20, то наиболее удобным числом для такого перевода было 60 – наименьшее общее кратное этих чисел.
Вавилоняне писали на сырых глиняных табличках, которые затем сушили на солнце или обжигали в печах. Этот материал был весьма долговечен, поэтому большое количество исписанных табличек сохранилось до наших дней. Основным знаком при письме был клин; по этой причине вавилонская письменность называется клинописной. Клин выдавливали на глине специальной треугольной деревянной палочкой.
Вавилонская нумерация чисел также была клинописной. Основными знаками в ней были вертикальный клин ∇ и горизонтальный .
Вавилонская нумерация чисел также была клинописной. Основными знаками в ней были вертикальный клин ∇ и горизонтальный .
Древний Рим
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.
А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".
Всего применялось 18 различных названий дробей.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Остатками римской системы дробей пользуются до сих пор. В английском футе 12 дюймов, в тройском фунте 12 тройских унций, в шиллинге 12 старых британских пенсов, 24 (12×2) часа в сутках и многие другие предметы, исчисляемые дюжиной, брутто (144, квадрат из 12) или большой брутто (1728,куб из 12). До десятичной дроби Ирландия и Соединенное Королевство использовали смешанную двенадцатеричную-десятичную денежную систему (12 пенсов = 1 шиллинг, 20 шиллингов или 240 пенсов к фунту стерлингов или ирландскому фунту), а Карл Великий установил денежную систему, которая также имела смешанную основу из двенадцати и двадцати, остатки которой сохраняются во многих местах.
Мы изучили системы счисления. Подводя итоги, можно сказать, что в каждой,рассмотренной цивилизации применялись различные символы для обозначения тех или иных цифр. Конечно, это неудивительно, потому что каждая цивилизация имеет собственный путь развития. Однако важно то, что современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами. Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг. Речь идет о римской системе счисления.
Цифры не управляют миром, но они показывают, как управляется мир
Иоганн Гете
Иоганн Гете
